高数知识点总结考研 第1篇
其两个基本要素：定义域和对应规则（依赖关系），当定义域和对应规则完全相同时，它们就是同一个函数
D f ∩ R g ≠ 空集 D_f∩R_g≠空集 Df∩Rg=空集
对任意任意 y ∈ R y ，有唯一确定的 x ∈ D ，使得 y = f ( x ) , 则记为 x = f − 1 ( y ) y∈R_y，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x),则记为x=f^{-1}(y) y∈Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x),则记为x=f−1(y) ，称其为函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的反函数
在同一直角坐标系中， y = f ( x ) 和 x = f − 1 ( y ) 的图形重合， y = f ( x ) 和 y = f − 1 ( x ) 的图像关于直线 y = x 对称 y=f(x)和 x=f^{-1}(y) 的图形重合，y=f(x)和y=f^{-1}(x)的图像关于直线y=x对称 y=f(x)和x=f−1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f−1(x)的图像关于直线y=x对称
如 y = e x 其反函数可以写为 x = l n y 这时二者是重合的，但如果写成 y = l n x 那么二者就是关于 y = x 对称的 y=e^x 其反函数可以写为 x=ln^y 这时二者是重合的，但如果写成 y=ln^x 那么二者就是关于y=x对称的 y=ex其反函数可以写为x=lny这时二者是重合的，但如果写成y=lnx那么二者就是关于y=x对称的
f − 1 ( f ( x ) ) = . . . . . . . f ( f − 1 ( x ) ) = x f^{-1}(f(x))=.......f(f^{-1}(x))=x f−1(f(x))=.......f(f−1(x))=x
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，由基本初等函数经过有限次函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数
单调增/减： x 1 < x 2 , f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ∣ ∣ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) x_1
单调不减/不增： x 1 < x 2 , f ( x 1 ≤ f ( x 2 ) ∣ ∣ f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) x_1
判定：(1)利用定义
(2)利用导数， f ( x ) 在区间 I 上可导，则 f(x)在区间I上可导，则 f(x)在区间I上可导，则
f ′ ( x ) > 0 ( < 0 ) → f ( x ) 单增、单减 f'(x)>0(<0)→f(x)单增、单减 f′(x)>0(<0)→f(x)单增、单减
f ( x ) ≥ 0 ( ≤ 0 ) → f ( x ) 单调不减 ( 单调不增 ) f(x)≥0(≤0)→f(x)单调不减(单调不增) f(x)≥0(≤0)→f(x)单调不减(单调不增)
l n 1 − x 1 + x 、 l n ( x + 1 + x 2 ) 、 f ( x ) − f ( − x ) 、 e x − 1 e x + 1 ln\frac{1-x}{1+x}、ln(x+\sqrt{1+x^2})、f(x)-f(-x)、\frac{e^x-1}{e^x+1} ln1+x1−x、ln(x+1+x2)、f(x)−f(−x)、ex+1ex−1都是奇函数 f ( x ) + f ( − x ) f(x)+f(-x) f(x)+f(−x)是偶函数 e s i n x + e − s i n x e^{sinx}+e^{-sinx} esinx+e−sinx
奇函数关于原点对称，若在x=0处有定义则f(0)=0
判定：(1)利用定义
(2)设 f ( x ) 可导 f(x)可导 f(x)可导，则
f ( x ) 是奇函数 − − − − > f ′ ( x ) 是偶函数 f(x)是奇函数---->f'(x)是偶函数 f(x)是奇函数−−−−>f′(x)是偶函数
f ( x ) 是奇函数 − − − − > f ′ ( x ) 是奇函数 f(x)是奇函数---->f'(x)是奇函数 f(x)是奇函数−−−−>f′(x)是奇函数
(3)连续的奇函数其原函数都是偶函数
连续的偶函数其原函数有且仅有一个奇函数
f ( x ) 是奇函数，则 ∫ 0 x f ( t ) d t 是偶函数 f(x)是奇函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt 是偶函数 f(x)是奇函数，则∫0xf(t)dt是偶函数 ( ∫ 0 x f ( t ) d t ) ′ = f ( x ) (\int_{0}^{x}f(t)dt)'=f(x) (∫0xf(t)dt)′=f(x) ∫ a x f ( t ) d t 是偶函数 \int_{a}^{x}f(t)dt是偶函数 ∫axf(t)dt是偶函数 证明：将积分进行拆分，a-0是一
段，其为常数 0-a为一段，其为偶函数，所以偶函数加上一个常数，还是偶函数
f ( x ) 是偶函数，则 ∫ 0 x f ( t ) d t 是奇函数 f(x)是偶函数，则\int_{0}^{x}f(t)dt 是奇函数 f(x)是偶函数，则∫0xf(t)dt是奇函数
泰勒多项式： f ( x ) + f ′ ( x ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f ( x ) n n ! ( x − x 0 ) n f(x)+f'(x)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f(x)^n}{n!}(x-x_0)^n f(x)+f′(x)(x−x0)+2!f′′(x)(x−x0)2+...+n!f(x)n(x−x0)n
偶函数在零点的展开，只有偶次项，无奇次项
奇函数在零点的展开，只有奇次项，无偶次项
f ( a x + b ) 以 T ∣ a ∣ 为周期 f(ax+b)以\frac{T}{|a|}为周期 f(ax+b)以∣a∣T为周期
判定：(1)利用定义
(2)可导函数的周期函数为周期函数
(3)周期函数的原函数不一定是周期函数
F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t 是以 T 为周期的充要条件 ∫ 0 T f ( x ) d t = 0 F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt是以T为周期的充要条件\int_{0}^{T}f(x)dt=0 F(x)=∫0xf(t)dt是以T为周期的充要条件∫0Tf(x)dt=0 ∣ s i n x ∣ 、 s i n x 5 、 s i n x 2 |sinx| 、sinx^5、sinx^2 ∣sinx∣、sinx5、sinx2的原函数是否为周期函数
存在M>0,任意 x ∈ I , ∣ f ( x ) ∣ ≤ M x∈I,|f(x)|≤M x∈I,∣f(x)∣≤M，则称 f ( x ) 在 I 上有界 f(x)在I上有界 f(x)在I上有界
判定：(1) 利用定义
(2) f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 = = = > f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有界 f(x)在[a,b]上连续===>f(x)在[a，b]上有界 f(x)在[a,b]上连续===>f(x)在[a，b]上有界
(3) f ( x ) 在 ( a , b ) 上连续，且 f ( a + ) 和 f ( b − ) 存在 = = = > f ( x ) 在 ( a , b ) 上有界 f(x)在(a,b)上连续，且f(a^+)和f(b^-)存在===>f(x)在(a,b)上有界 f(x)在(a,b)上连续，且f(a+)和f(b−)存在===>f(x)在(a,b)上有界
(4) f ′ ( x ) 在区间 I ( 有限 ) 上有界 = = = > f ( x ) 在 I 上有界 f'(x)在区间I(有限)上有界===>f(x)在I上有界 f′(x)在区间I(有限)上有界===>f(x)在I上有界 证明在武忠祥讲义第五页
1、P6 例题1 对复合函数定义域的考察
2、P7 例题3 一点的导数推不出区域内的导数
3、P8例题4 自变量改变时，积分区域也要发生变化
( 1 ) lim x n = a ( n − > ∞ ) 的几何意义：一定存在 N ， n > N ，即第 N 项以后的点 x n 都落在开区间 ( a − e , a + e ) 内， 而只有有限个 ( 最多有 N 个 ) 在这区间之外 (1)\lim{x_n}=a(n->∞)的几何意义：一定存在N，n>N，即第N项以后的点x_n都落在开区间(a-e,a+e)内，\\而只有有限个(最多有N个)在这区间之外 (1)limxn=a(n−>∞)的几何意义：一定存在N，n>N，即第N项以后的点xn都落在开区间(a−e,a+e)内，而只有有限个(最多有N个)在这区间之外
(2) 数列极限是否存在，如果存在极限值等于多少，与数列的前有限项无关 武忠祥P9 22年3
lim x − > 0 s i n ( x ∗ s i n 1 x ) x ∗ s i n 1 x ≠ 1 \lim_{x->0} \frac{sin(x*sin\frac{1}{x})}{x*sin\frac{1}{x}}≠1 limx−>0x∗sinx1sin(x∗sinx1)=1 解释：（1） 无论去心邻域多么小，总存在 x = 1 n Π = 0 = = = > s i n 1 x = 0 = = = > 分母 x ∗ s i n 1 x = 0 ，在这一点出是没有定义的，不满足极限在 ∗ ∗ 去心领域内处处有定义 ∗ ∗ 这一条件 ( 2 ) 我们使用等价无穷小， x 要满足趋近于 0 但 x ≠ 0 ，显然分子中 x ∗ s i n 1 x 是不满足 x ≠ 0 这一要求的 x=\frac{1}{nΠ}=0===>sin\frac{1}{x}=0===>分母x*sin\frac{1}{x}=0，在这一点出是没有定义的，不满足极限在**去心领域内处处有定义**这一条件\\(2)我们使用等价无穷小，x要满足趋近于0但x≠0，显然分子中x*sin\frac{1}{x}是不满足x≠0这一要求的 x=nΠ1=0===>sinx1=0===>分母x∗sinx1=0，在这一点出是没有定义的，不满足极限在∗∗去心领域内处处有定义∗∗这一条件(2)我们使用等价无穷小，x要满足趋近于0但x=0，显然分子中x∗sinx1是不满足x=0这一要求的 3、 f ( x ) 在点 x 0 处的极限是否存在，仅与 f ( x ) 在点 x 0 的去心邻域的函数值有关，与 f ( x 0 ) 在 x 0 是否有定义或者其值等于多少无关 f(x)在点x_0处的极限是否存在，仅与f(x)在点x_0的去心邻域的函数值有关，与f(x_0)在x_0是否有定义或者其值等于多少无关 f(x)在点x0处的极限是否存在，仅与f(x)在点x0的去心邻域的函数值有关，与f(x0)在x0是否有定义或者其值等于多少无关
4、在某点处有极限==>在去心邻域处处有定义
5、注意极限存在的充要条件是左极限==右极限，会在 分段函数、 e ∞ a r c t a n ∞ 分段函数、e^∞ arctan^∞ 分段函数、e∞arctan∞ 考察
若极限存在，则在该点的某去心邻域内有界，反之，则不成立 反例： f ( x ) = s i n 1 x 反例： f(x)=sin\frac{1}{x} 反例：f(x)=sinx1
极限正，则函数正 lim f ( x ) = A , A > 0 , 则在去心邻域内 f ( x ) > 0 \lim f(x)=A, A>0,则在去心邻域内f(x)>0 limf(x)=A,A>0,则在去心邻域内f(x)>0
函数不负，则极限不负 f ( x ) 在去心邻域内 ≥ 或 > 0 , 则 A ≥ 0 f(x)在去心邻域内≥或>0,则A≥0 f(x)在去心邻域内≥或>0,则A≥0 例子： f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2
lim f ( x ) = A < = = = > f ( x ) = A + α ( x ) , lim α ( x ) = 0 \lim f(x)=A <===> f(x)=A+\alpha(x),\lim\alpha(x)=0 limf(x)=A<===>f(x)=A+α(x),limα(x)=0
n项和，且变化部分对主体部分无影响时，使用
主要应用在递推关系证明该数列极限存在
高阶、低阶、同阶、等价、k阶无穷小
（1）有限个无穷小的和仍是无穷小
（2）有限个无穷小的积仍是无穷小
（3）无穷小与有界量的积仍是无穷小
x − > + ∞ ， l n α x < < x β < < a x . . . . ( α > 0 , β > 0 , a > 1 ) x->+∞，ln^\alpha x<
n − > + ∞ ， l n α n < < n β < < a n < < n ! < < n n . . . . ( α > 0 , β > 0 , a > 1 ) n->+∞，ln^\alpha n<
无穷大量是在某点后，恒有函数值为无穷
无界变量是在某点后，存在函数值为无穷
f ( x ) 是无穷大， 1 f ( x ) 是无穷大，反之也成立 ( f ( x ) ≠ 0 ) f(x)是无穷大，\frac{1}{f(x)}是无穷大，反之也成立(f(x)≠0) f(x)是无穷大，f(x)1是无穷大，反之也成立(f(x)=0)
1、 lim n − > ∞ a n = A = = = > lim n − > ∞ ∣ a n ∣ = ∣ A ∣ \lim_{n->∞}a_n=A===>\lim_{n->∞}|a_n|=|A| limn−>∞an=A===>limn−>∞∣an∣=∣A∣
lim n − > ∞ a n = 0 < = = = > lim n − > ∞ ∣ a n ∣ = 0 \lim_{n->∞}a_n=0<===>\lim_{n->∞}|a_n|=0 limn−>∞an=0<===>limn−>∞∣an∣=0
方法一：利用有理运算法则 P15武
极限的非零因子可以先提出来
极限的反问题
方法二：利用基本极限
** lim n − > ∞ n n = 1 \lim_{n->∞}\sqrt[n]{n}=1 limn−>∞nn=1 lim n − > ∞ x n \lim_{n->∞}x^n limn−>∞xn**的表达式 P16武
高数知识点总结考研 第2篇
1、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
2、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。
3、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
4、掌握多元复合函数偏导数的求法，会求隐函数的偏导数。
5、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，掌握二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求多元函数的最大值和最小值及一些简单的应用问题。
重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全微分的概念及计算复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算。空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数极值。
难点是多元复合函数的求导法，二函数的泰勒公式。
高数知识点总结考研 第3篇
强化阶段完成后，实际上考研数学的复习已经基本完成。这个时候大家应该已经熟悉考研数学中的每一类题型以及对应的解题方法，而且已经具备较强的计算能力。所以从11月份开始，每周要做真题、模拟题培养考试状态，进入冲刺阶段的复习。
【冲刺阶段复习资料】这一阶段的主要任务是查漏补缺，培养考试状态。所以，建议的复习资料是基础阶段和强化阶段总结的复习笔记，历年真题与模拟题。
【注意事项】冲刺阶段需要通过真题和模拟题的训练体验实战感觉，找到做题技巧并摸索出题特点，以便更利于临场发挥。这一阶段要做到：
1.要记忆，不要脱离教材。对考研数学必需掌握的基本概念、公式、定理进行记忆，尤其是平时记忆模糊的公式，都需要重新回到教材找出原型来记忆。
2.要总结、思考。这一阶段不能搞题海战术，需要对上一轮复习中做过的历年真题和模拟题进行总结(包括理清基本的解题思路，对遗忘的知识点查漏补缺)
3.要练习考研数学的套题。坚持练套题到最后，手不能生。最后阶段一定要做高质量的模拟题，尽量少做难题、偏题、怪题。
高数知识点总结考研 第4篇
常微分方程的基础理论以及其解法，如分离变量法、齐次与非齐次线性微分方程等，都是必须掌握的内容。建议通过典型例题，熟悉不同解法的具体步骤和应用范围，确保在考试中可以准确识别和解答。
总的来说，要攻克高数考研的核心难题，考生不仅需要深刻理解和掌握各个知识点，还要通过题海战术，不断强化自己的解题能力。合理分配复习时间，注重总结和反思，才能实现从基础到高分的跨越。相信通过以上的复习策略，你定能在高数考研中取得理想的成绩。
高数知识点总结考研 第5篇
从2018年7月开始要进入强化阶段的复习。强化阶段的主要任务是建立完整的知识体系，提高综合解题能力。
强化阶段的复习是提高考试成绩的关键，但是，如果没有基础阶段的知识储备，强化阶段的复习是很难取得良好效果的。所以小伙伴们一定要注意，数学复习是环环相扣、步步承接的。
【强化阶段复习资料】
以数学复习全书和历年考研数学真题为主。要把考研中的题型归类练习，熟练掌握每一类题型的解题方法。
(一)强化训练第一轮(7月——8月)
以题型与常考知识模块复习为主，通过练习测试巩固所学知识。
【学习方法】
1.使用教材配套的复习指导或习题集，如：李永乐660道题。通过做题巩固知识，遇到不会或似懂非懂的题目不要直接看参考答案，应当先温习教材相关章节，弄懂基本知识。
2.按要求完成练习测试后，要留有一些时间对教材的内容进行梳理，对重点、难点做好笔记，以便之后的复习。对于典型性、灵活性、启发性和综合性的题目要特别注重理解思路和技巧的培养。
3.试题虽千变万化，知识结构却基本相同，题型也相对固定。归纳题型与常考知识模块以便提高解题的针对性，进而提高解题速度和准确性。
(二)强化训练第二轮(9月初——10月中旬)
通过综合基础题及考研真题来查漏补缺，训练解题速度。
【需要做到】
1.加大对综合题和应用题解题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。在综合题的解答中，迅速找到解题的切入点是关键，为此需要熟悉规范的解题思路，以便能够对做过的题目进行归纳分类、延伸拓展。
2.在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向和横向联系，转化为自己掌握的东西。应用题的解题步骤是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其转化为某个数学问题求解。
【注】基础阶段与强化阶段的终极目标是对考研数学内容建立一个知识网，熟练掌握考研各常见考试题型与解题方法。